Hypersolides.
Polytopes & hypersphères.
Un voyage géométrique de la 3ème à la 16ème dimension : des solides de Platon aux fibrations octonioniques.
Deux familles règnentsur la géométrie des dimensions.
Polytopes
Sommets, arêtes, faces, cellules. Le squelette anguleux des cristaux et des réseaux.
Hypersphères
Surface lisse, infiniment symétrique, mais qui cache des fibrations entrelacées.
Les solides de Platon.
Cinq polyèdres réguliers convexes, et seulement cinq. Fondations de la symétrie tridimensionnelle.
Une dimension de plus.
On dessine un cube en reliant deux carrés. On dessine un tesseract en reliant deux cubes. L'analogie est le seul pont vers ce que l'œil ne peut saisir.
Le Tesseract.
Huit cellules cubiques repliées dans la 4ème dimension. Coordonnées (±1, ±1, ±1, ±1).
Le Glome.
L'analogue 4D de la sphère. Ses « tranches » successives sont des sphères 3D qui croissent puis se contractent.
Six analogues 4D des solides de Platon.
Pentachore
5 cellules · simplexe 4D.
Tesseract
8 cellules · cube 4D.
16-Cellules
16 cellules · octaèdre 4D.
24-Cellules
Exclusivité 4D · 24 octaèdres.
120-Cellules
120 dodécaèdres · nombre d'or.
600-Cellules
600 tétraèdres · dual du 120.
Trois familles survivantes.
Le minimum
N+1 sommets. Triangle → Tétraèdre → Pentachore.
L'orthogonal
2^N sommets. Carré → Cube → Tesseract.
Le dual
2N sommets. Diamant → Octaèdre → 16-Cellules.
Demicubes.
On garde un sommet sur deux de l'hypercube. Une nouvelle famille Dn apparaît, ouvrant la voie aux exceptions.
En 3D, le démicube est un tétraèdre. En 4D, c'est l'hexadécachore. En 5D, le démipenteract (16 sommets) devient une brique fondamentale pour les polytopes de Gosset.
Méridiens & fibrations.
Sn+1 est la suspension de Sn.
Fibrations exceptionnelles sur S³, S⁷, S¹⁵.
S³ sur S².
La 3-sphère est faite de cercles entrelacés (fibres) sur une 2-sphère (base). Première brisure de l'homogénéité.
Polytope 4₂₁.
Le monarque des polytopes exceptionnels. 240 sommets, 241 920 tétraèdres. Saturation maximale de l'espace 8D.
S⁷ sur S⁴.
Adossée aux Quaternions ℍ. Les fibres sont elles-mêmes des 3-sphères entières, entrelacées.
S¹⁵ sur S⁸.
Le bout de la route. Adossée aux Octonions 𝕆. Les fibres sont des 7-sphères. Aucune autre fibration n'est possible au-delà.
L'horizon des formes.
Passé la 8D, les exceptions s'éteignent. Il ne reste que les familles infinies A, B, B*, D. Le monde devient vaste, mais banal.
Synthèse des dimensions.
Hypersolid.
L'exploration continue.